% !TEX TS-program = XeLaTeX \documentclass[12pt]{exam} \usepackage{bacex} %***************************************** %--------------------info--------------------- \newcommand{\alg}{\bf الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية} \newcommand{\gov}{\bf وزارة التربية الوطنية \hfill الديوان الوطني للامتحانات و المسابقات} \newcommand{\bac}{\bf امتحـان بكالوريا التعليم الثانوي \hfill دورة : جوان 2017 } \newcommand{ \duree }{\bf المدة :} \newcommand{ \niveau }{\bf الشعبة : تقني رياضي } \newcommand{ \exam }{\bf اختبار في مادة : } %-------------------------------------------------------------------------- \begin{document} %--------------------------------------------------------------- \begin{center} \alg \\ \gov \\ \bac \end{center} {\niveau} \rule{\textwidth}{1.4pt}\\[-2pt] \centerline{ \exam الرياضيات \hfill \duree 04 سا و 30 د }\\[-8pt] \rule{\textwidth}{1.4pt} %---------------------------------------------- \choi % اختيار الموضوعين \\ %--------------------------------------- \one % الموضوع الأول %---------------------------------------------- \vspace{0.6cm} %-------------------------------------------------- \begin{questions} \question [04] %التمرين الأول الفضاء منسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ . \\ نعتبر النقط $A(0;-1;2)$ ، $B(3;2;5)$ ، $C(3;-1;-1)$ و $D(-3;5;-1)$ \\ ليكن $(P)$ و $(Q)$ المستويين اللذان معادلتاهما على الترتيب : $x+y+z-1=0$ و $x-z+2=0$ .\\ \begin{parts} \part بين أن المثلث $ABC$ قائم. ، ثم عين معادلة ديكارتية للمستوي $(ABC)$ . \part \begin{subparts} \subpart بين أن المستويين $(P)$ و $(Q)$ متعامدان ثم جد تمثيلا وسيطيا للمستقيم $(\Delta)$ ، تقاطع المستويين $(P)$ و $(Q)$ . \subpart عين تقاطع المستويات $(P)$ ، $(Q)$ و $(ABC)$ . \end{subparts} \part تحقق أن $A$ هي المسقط العمودي للنقطة $D$ على المستوي $(ABC)$ ثم احسب حجم رباعي الوجوه $DABC$ . \part بين أّن $\dfrac{\pi}{4}$ قيس بالراديان للزاوية $\widehat{BDC}$ ، ثم استنتج المسافة بين النقطة $A$ و المستوي $(BDC)$ . \end{parts} \question[04] % بداية التمرين الثاني عليه 7 نقاط مثلا \begin{parts} \part عين ، حسب قيم العدد الطبيعي $n$ ، باقي القسمة الإقليدية للعدد $3^n$ على $5$ . \part استنتج باقي القسمة الإقليدية للعدد $1437^{2017}$ على $5$ . \part برهن أن: من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، العدد $(48^{4n+3}-2\times{9}^{2n+1}+1)$ مضاعف للعدد $5$ . \part عين الأعداد الطبيعية $n$ حتى يكون العدد $(3^{4n}+27^n-4)$ قابلا للقسمة على $5$ . \end{parts} \question[05] % التمرين الثالث 5 نقاط {(I} حل في مجموعة الأعداد المركبة $\mathbb{C}$ المعادلة ذات المجهول المركب $z$ الآتية: $(z-4)(z^2-2z+4)=0$\\ {(II} المستوي المركب منسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$ . \\ نعتبر النقط $A$ ، $B$ و $C$ التي لاحقاتها $z_A=4$ ، $z_B=1+i\sqrt{3}$ و $z_C=1-i\sqrt{3}$ . \begin{parts} \part اكتب العدد المركب $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ على الشكل الأسي ثم استنتج طبيعة المثلث $ABC$ . \part \begin{subparts} \subpart عين لاحقة النقطة $D$ صورة $B$ بالدوران $r$ الذي مركزه المبدأ $O$ و زاويته $\dfrac{2\pi}{3}$ . \subpart عين طبيعة الرباعي $ABCD$ . \end{subparts} \part من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، نضع: $z_n=(z_B)^n+(z_C)^n$ . \begin{subparts} \subpart بين أن: من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، $z_n=2^{n+1}\times{\cos \left(\dfrac{n\pi}{3}\right)}$ . \subpart نضع من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $t_n=z_{6n}$ . \\[5pt] - عبر عن $t_n$ بدلالة $n$ ثم احسب $P_n$ بدلالة $n$ جيث $P_n=t_0\times{t_1}\times{t_2}\times{\cdots}\times{t_n}$ . \end{subparts} \end{parts} \question[07] \hfill\\ (I لتكن الدالة $g$ المعرفة على المجال $\left]0;+\infty\right[$ كما يلي: $g(x)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2-\ln x}{x^2}$ . \begin{parts} \part احسب $\mathop {\lim }\limits_{x\mathop \to \limits^ \succ 0} g(x)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) $ \part ادرس اتجاه تغير الدالة $g$ ثم شكل جدول تغيراتها . \part بين أن المعادلة $g(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ حيث $1,71<\alpha<1,72$ ثم استنتج اشارة $g(x)$ حسب قيم $x$ . \end{parts} \hfill\\ (II نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\left]0;+\infty\right[$ كما يلي : $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+2+\dfrac{-1+\ln x}{x}$ . \\ $(C_f)$ التمثيل البياني للدالة $f$ في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$ حيث $||\vec{i}||=1cm$ . \begin{parts} \part \begin{subparts} \subpart احسب $\mathop {\lim }\limits_{x\mathop \to \limits^ \succ 0} f(x)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$ . \subpart ادرس اتجاه تغير الدالة $f$ ثم شكل جدول تغيراتها . \end{subparts} \part \begin{subparts} \subpart بين أن المستقيم $(\Delta)$ ذا المعادلة $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ مقارب مائل للمنحنى $(C_f)$ . \subpart ادرس وضعية المنحنى $(C_f)$ بالنسبة إلى المستقيم $(\Delta)$ . \end{subparts} \part " نقبل أن $f(\alpha)\simeq{0,87}$ و $f(\gamma)=f(\beta)=0$ حيث $0,76<\beta<0,78$ و $4,19<\gamma<4,22$ ". \\ - أنشئ في المعلم السابق المستقيم $(\Delta)$ و المنحنى $(C_f)$ . \part ليكن $\lambda$ عدد حقيقي حيث $1<\lambda\leqslant{e}$ ، نرمز ب $\mathscr{A}(\lambda)$ إلى مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى $(C_f)$ \\ و المستقيم $(\Delta)$ و المستقيمين اللذين معادلتاهما : $x=1$ و $x=\lambda$ . \begin{subparts} \subpart احسب $\mathscr{A}(\lambda)$ بدلالة $\lambda$ . \subpart عين قيمة $\lambda$ حيث $\mathscr{A}(\lambda)=\dfrac{1}{2}cm^2$ . \end{subparts} \end{parts} \end{questions} % نهاية التمارين %========================================================= % fin %======================================================== %======================================================== \newpage % الموضوع الثاني \two \begin{questions} \question[04] الفضاء منسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ . نعتبر النقط $A(1;1;-1)$ ، $B(1;7;-3)$ و $I(O;1;-2)$ \\ و الشعاع $\vec{v}(2;0;2)$ ، $(\Delta_1)$ المستقيم الذي يشمل النقطة $A$ و $\vec{v}$ شعاع توجيه له و $(\Delta_2)$ المستقيم المعرف \\ بالتمثيل الوسيطي : $\begin{cases} x=-1+2t \\ y=2-t \;;\;(t \in \mathbb {R}) \\ z=3-4t \end{cases}$ \begin{parts} \part بين ان $A$ تنتمي الى المستقيم $(\Delta_2)$ و أن $(\Delta_1)$ و $(\Delta_2)$ غير متطابقان . \part ليكن $(P)$ المستوي المعين بالمستقيمين $(\Delta_1)$ و $(\Delta_2)$ . \\ -بين أن الجملة: $\begin{cases} x=1+2\alpha+2\beta \\ y=1-\alpha \;;\;(\alpha\in \mathbb{R},\beta \in \mathbb{R}) \\ z=-1-4\alpha+2\beta \end{cases}$ تمثيل وسيطي للمستوي $(P)$ . \part أثبت أن $I$ هي المسقط العمودي للنقطة $B$ على المستوي $(P)$ . \part لتكن $(S)$ مجموعة النقط $M(x;y;z)$ من الفضاء حيث $x^2+y^2+z^2-2x-14y+6z+21=0$ . \begin{subparts} \subpart بين أن $(S)$ سطح كرة يطلب تحديد مركزها و نصف قطرها . \subpart تحقق أن المستوي $(P)$ يمس $(S)$ في نقطة يطلب تعيينها . \end{subparts} \end{parts} \question[04] نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة ب: $u_1=\dfrac{1}{a}$ و من أجل كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم ، $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{an}u_n$ \\ حيث $a$ عدد حقيقي أكبر من أو يساوي $2$ . \begin{parts} \part \begin{subparts} \subpart بين أن : من أجل كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم : $u_n>0$ . \subpart بين ان المتتالية $(u_n)$ متناقصة تماما ثم استنتج أنها متقاربة . \end{subparts} \part نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة كما يلي :من أجل كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم ، $v_n=\dfrac{1}{an}u_n$ . \begin{subparts} \subpart بين أن المتتالية $(v_n)$ هندسية أساسها $ \dfrac{1}{a} $ و عين حدها الأول $v_1$ بدلالة $a$ . \subpart جد بدلالة $n$ و $a$ عبارة الحد العام $v_n$ ثم استنتج عبارة $u_n$ و احسب $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n $ . \end{subparts} \part احسب بدلالة $n$ و $a$ المجموع $S_n$ حيث $S_n=u_1+\dfrac{1}{2}u_2+\cdots+\dfrac{1}{n}u_n$ \\ ثم عين قيمة $a$ حيث $\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=\dfrac{1}{2016}$ . \end{parts} %***** \newpage %***************** \question[04] (I حل في مجموعة الأعداد المركبة $\mathbb{C}$ المعادلة ذات المجهول $z$ الآتية: $(z+1-\sqrt{3})(z^2+2z+4)=0$ .\\ (II المستوي المركب منسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$ . \\ نعتبر النقط $A$ ، $B$ و $C$ التي لاحقاتها $z_A=-1+\sqrt{3}$ ، $z_B=-1-i\sqrt{3}$ و $z_c=\overline{z_B}$ . \begin{parts} \part بين أن $z_B-z_A=i(z_C-z_A)$ ثم استنتج طبيعة المثلث $ABC$ و احسب مساحته . \part \begin{subparts} \subpart أكتب على الشكل الجبري العدد المركب $L$ حيث $L=\dfrac{z_C-z_A}{z_C}$ . \subpart بين أن: $L=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{12}+i \sin \dfrac{\pi}{12}\right)$ ثم استنتج القيمة المضبوطة ل $\tan \dfrac{\pi}{12}$ . \end{subparts} \part نعتبر التحويل النقطي $S$ الذي يحول النقطة $M$ ذات الاحقة $z$ الى النقطة $M'$ ذات الاحقة $z'$ و المعرف \\ بـ: $z'=(z-z_B)L+z_B$ \\ - بين أن $S$ تشابه مباشر يطلب تحديد عناصره المميزة . \part لتكن النقط $A'$ ، $B'$ و $C'$ صور النقط $A$ ، $B$ و $C$ على الترتيب بالتحويل $S\circ{S}$ . \\ -احسب مساحة المثلث $A'B'C'$ . \end{parts} \question[07] (I لتكن الدالة $g$ المعرفة على $\mathbb{R}$ كما يلي: $g(x)=1-2xe^{-x}$ . \\ -ادرس اتجاه تغير الدالة $g$ ثم استنتج اشارة $g(x)$ .\\ (II نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ كما يلي: $f(x)=(x+1)(1+2e^{-x})$ . \\ $(C_f)$ التمثيل البياني للدالة $f$ في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$ حيث $||\vec{i}||=1cm$ . \begin{parts} \part \begin{subparts} \subpart احسب $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ و $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ . \subpart ادرس اتجاه تغير الدالة $f$ ثم شكل جدول تغيراتها . \end{subparts} \part \begin{subparts} \subpart بين أن: $\lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-1\right]=1$ ثم استنتج معادلة لــ $(\Delta)$ ، المستقيم المقارب المائل للمنحنى $(C_f)$ . \subpart ادرس وضعية المنحنى $(C_f)$ بالنسبة الى المستقيم $(\Delta)$ . \end{subparts} \part اثبت أن المنحنى $(C_f)$ يقبل مماسا وحيدا $(T)$ يوازي $(\Delta)$ يطلب تعيين معادلة له . \part باستعمال المنحنى $(C_f)$ ، عين قيم الوسيط الحقيقيي $m$ حتى يكون للمعادلة $f(x)=x+m$ حلين مختلفين . \part ليكن $\alpha$ عددا حقيقيا موجبا ، نرمز ب $\mathscr{A}(\alpha)$ الى مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى $(C_f)$ \\ و بالمستقيمات التي معادلاتها على الترتيب : $y=x+1$ ، $x=-1$ و $x=\alpha$ . \\ -احسب $\mathscr{A}(\alpha)$ بدلالة $\alpha$ ثم $\lim\limits_{\alpha \to +\infty}\mathscr{A}(\alpha)$ . \end{parts} \end{questions} \end{document}