\sethebrew
\bchapter{חישוב מבוזר ב-\L{UNIX}}{Distributed Calculatiuon in UNIX}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline
 \R{כמות}     & \R{סוג הפרות} & \R{מספר} \\ \hline
 \R{2 קילו}   & \L{apples}  &  .1 \\
 \R{4 קילו}   & \L{oranges} &  .2 \\
 \R{5.2 קילו} & \L{bananas} &  .3 \\
 \R{3 קילו}   & \L{mango}   &  .4 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\bcaptiont{טבלה מספר שלוש}{Third Table}
\label{table1}
\end{table}

בפרק הזה נגדיר את המושגים הבסיסיים, ונשתמש בהם 
בפרקים הבאים כדי לתאר שני אלגוריתמים של מטמורפוזה של עקומות 
$C_0(r)$ ו- $C_1(r)$.

\bsection{הגדרות והנחות}{Definitions}

כמובן, באופן כללי, גם יותר משתי נקודות שונות בתחום 
הפרמטרי $\cal D$ 
יכולות להתלכד במרחב התלת-ממדי )ראה 
טבלה~\ref{table1}(, אבל המקרה הזה הוא מאוד 
נדיר. בנוסף, ניתן לטפל במקרה הנדיר הזה באופן דומה לטיפול 
שמתואר בהמשך. לכן נניח שמעתה לכל נקודה 
$P \in {\cal S}$ )נקודת חיתוך עצמי של המשטח הקווי 
$R(t, r)$( יש בדיוק שתי נקודות שונות בתחום הפרמטרי 
$\cal D$ המתאימות לנקודה $P$. 

לנקודות מראה יש תכונות טופולוגיות חשובות. נזכור, שכל זוג 
נקודות מראה נמצאת בערך זמן קבוע $t_1 = t_2 = t_0$ 
ומגדירות נקודת חיתוך עצמי של העקומה שוות הפרמטר.

תהייה $s$ פרמטריזציה אורך הקשת של עקומה שוות פרמטר
$C(s) = R(t_0, s)$ של המשטח הקווי עם פרמטר זמן קבוע. 
עבור שתי זוגות  של נקודות מראה צמודות \\
$\{(t_0, s_1), (t_0, s_2)\}$ ו-
$\{(t_0, s_3), (t_0, s_4)\}$, כאשר
\[
\begin{array}{r}
R(t_0, s_1) = R(t_0, s_2) = P_1,~ R(t_0, s_3) = R(t_0, s_4) = P_2 \\
s_1 < s_3 < s_4 < s_2
\end{array}
\]
נסמן ב- $\bar{s_i}$ סטייה קטנה מפרמטר $s_i$, 
כאשר \L{i = 1, 2, 3, 4}. כלומר 
\[
\bar{s_1} = s_1 - \varepsilon_1,~ 
\bar{s_2} = s_2 + \varepsilon_2,~ 
\bar{s_3} = s_3 + \varepsilon_3,~ 
\bar{s_4} = s_4 - \varepsilon_4
\]
או $\bar{s_i} = s_i \pm \varepsilon_i$,
)ראה טבלה~\ref{table1}( כאשר 
$\varepsilon_i$ הוא פרמטר קטן המוגדר על-ידי המשתמש 
כדי לשלוט על התהליך של סילוק החיתוכים העצמיים בעקומות 
שווי פרמטר של המשטח הקווי $R(t, s)$.

נתבונן בעקומה שוות הפרמטר $C(s) = R(t_0, s)$ של 
המשטח הקווי $R(t, s)$, כאשר \L{\\} 
קבוע $t_0 \equiv$ ו- 
$s \in [0, 1]$.