\chapter{Grafiktutorial}\label{lagratut} \markboth{Grafiktutorial}{Grafiktutorial} \subsubsection{Grundlagen: Punkte, Linien, Einheiten und Macropakete} \dvi\ und \dvilw\ erzeugen ihre Grafiken dadurch, da"s man einige Punkte durch ihre Positionen definiert und diese dann durch verschiedene Linien miteinander verbindet oder durch verschieden dicke Punkte sichtbar macht. Dazu folgendes Plain-\TeX-Beispiel: \begin{quote} \begin{verbatim} \leftline{\hskip 3cm\special{gr setpoint 0}} \rightline{\special{gr setpoint 1; poly 0,1} \hskip 3cm} \end{verbatim} \end{quote} \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp] \leftline{\hskip 0.2cm\special{gr setpoint 0}} \rightline{\special{gr setpoint 1; poly 0,1}\hskip 0.2cm} %\caption{Erste Grafik}\label{la1} %\end{figure} } Dadurch entsteht eine "ahnliche Abbildung wie links. Verwendet wurden in diesem Beispiel zwei \verb|\special|-Befehle des Treibers, n"amlich \verb|setpoint|, womit die Positionen der Punkte 0 und 1 festgelegt wurden und \verb|poly|, der die Verbindung der beiden Punkte 0 und 1 durch eine Gerade zeichnete. Um die Positionierung etwas zu erleichtern, werden folgende \TeX-Macros und Variablen f"ur Plain-\TeX\ definiert: \begin{quote} \begin{verbatim} \newdimen\unitlength \unitlength = 1pt \def\setunitlength#1{% \unitlength=#1\special{gr setunitlength #1}} \def\picture(#1,#2)#3{\vbox to #2\unitlength{\vss\hbox to #1\unitlength{#3\hss}}} \def\put(#1,#2)#3{\unskip\raise#2\unitlength\hbox to 0pt{\kern#1\unitlength#3\hss}\ignorespaces} \end{verbatim} \end{quote} F"ur \LaTeX\ ist nat"urlich die Definition der Macros \verb|\picture| und \verb|\put| un\-n"o\-tig, da das \verb|picture|-Environment genau dasselbe leistet. Der n"achste Absatz mu"s deshalb von \LaTeX-Anwendern "ubersetzt werden, d.h.\ mit den notwendigen \verb|\begin{}| und \verb|\end{}|-Zus"atzen versehen werden. Die neue Variable \verb|\unitlength| gibt die Ma"seinheit an, in der alle Punktekoordinaten angegeben werden k"onnen. Das Macro \verb|\setunitlength| dient der Ver"anderung dieser Ma"seinheit, zus"atzlich wird den Treibern diese Ver"anderung "uber das Grafik-Kommando \verb|setunitlength| mitgeteilt. Es ist wichtig, sich dar"uber klarzuwerden, da"s die \TeX-Variable \verb|\unitlength| f"ur die Treiber unbekannt ist, und nur f"ur die beiden Macros \verb|\picture| und \verb|\put| von Bedeutung ist. Alternativ ist auch die Verwendung von absoluten L"angenangaben, wie sie \TeX\ versteht (z.B.\ 1.1~{\it cm}, 5~{\it pt}), erlaubt. Mit \verb|\picture(w,h)| wird Platz f"ur ein Bild der Breite \verb|w| und der H"ohe \verb|h| geschaffen. Mit \verb|\put(x,y)| k"onnen Bildelemente innerhalb von \verb|\picture| positioniert werden. Beispiel: Die Befehle \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(3,2){\put(0,0){a}\put(3,2){b}}} \end{verbatim} \end{quote} \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,2) \put(0,0){a}\put(3,2){b} \end{picture} %\caption{Demonstration der {\tt picture} und {\tt put} Befehle}\label{la2} %\end{figure} } erzeugen das Bild links. Anstatt der Buchstaben a und b sollen nun die Endpunkte einer Geraden an dieselben Stellen gesetzt werden. Dies geschieht mit folgenden Befehlen, die das Bild links liefern: \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,2) \put(0,0){\special{gr setpoint 0}\ignorespaces} \put(3,2){\special{gr setpoint 1; poly 0,1}\ignorespaces} \end{picture} %\caption{Gerade}\label{la3} %\end{figure} } \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(3,2){ \put(0,0){\special{gr setpoint 0}} \put(3,2){\special{gr setpoint 1; poly 0,1}}}} \end{verbatim} \end{quote} \subsubsection{Punktdefinitionen f"ur fortgeschrittene Aufgaben} Es ist jedoch nicht n"otig, jede einzelne Punkteposition durch einen neuen \verb|\special|-Befehl festzulegen, vielmehr ist das Kommando \verb|setpoint| selbst in der Lage, Punktpositionen durch Angabe von Koordinaten zu definieren. Das obige Bild h"atte auch so erzeugt werden k"onnen: \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(5,2){\special{gr setpoint 0 1[4,2]; poly 0,1}}} \end{verbatim} \end{quote} Dieses Beispiel soll zeigen, da"s es m"oglich ist, beliebig viele Punktpositionen durch ein einziges \verb|setpoint|-Kommando festzulegen. Zum anderen sieht man, da"s es m"oglich ist, zur Punktenummer zus"atzlich eine $x$- und eine $y$-Koordinate anzugeben. Die Ma"seinheit dieser Koordinatenangaben wird durch das Kommando \verb|setunitlength| festgelegt, falls die Angaben Gleitpunktwerte sind. Wahlweise k"onnte auch eine andere g"ultige \TeX-L"angenangabe wie {\tt 0.3 true cm} benutzt werden. In diesem Fall wurden die Offsets durch das \TeX-Macro \verb|\setunitlength| festgelegt. Eine weitere M"oglichkeit, das obige Bild zu erzeugen, ist: \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(5,2){\special{gr setpoint 0, [4,2]; poly 0,1}}} \end{verbatim} \end{quote} Wie man sieht, ist die Punktenummer des zweiten gesetzten Punktes weggelassen, allerdings steht nun ein Komma zwischen beiden Angaben, da dies sonst wie \verb|0[4,2]| gelesen w"urde. Werden Punktenummern nicht angegeben, so numerieren \dvi\ und \dvilw\ die Punkte automatisch in aufsteigender Reihenfolge. Dies erm"oglicht auch folgende Eingabe: \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(5,2){ \special{gr setpoint [0,0] [4,2]; poly @2}}} \end{verbatim} \end{quote} Hier sind "uberhaupt keine Punktenummern mehr angegeben. Nat"urlich ist diesem Zusammenhang nicht mehr unbedingt klar, welche Punktenummern der Treiber verwendet hat, denn dies h"angt ja davon ab, welche Punktenummern in vorangegangenen Bildern verwendet wurden. Deshalb wurde im \verb|poly|-Kommando anstatt einer Liste von Punkten der Ausdruck \verb|@2| verwendet, der besagt, da"s die Punkteliste aus den beiden zuletzt gesetzten Punkten besteht. Auch der Ausdruck \verb|@-2| w"are an dieser Stelle m"oglich gewesen. In diesem Fall w"are der interne Punktez"ahler des Treibers wieder um den Wert~2 zur"uckgesetzt worden. Die \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,3) \special{gr setpoint 0, [3,3], [0,3]; poly 0,1; poly [0,1]1/2, 2;} \end{picture} %\caption{Linearkombination von Punkten}\label{la4} %\end{figure} } n"achste Aufgabe besteht darin, Punkte auf einer Linie als Ausgangspunkte anderer Linien zu verwenden, wie links im Bild zu sehen ist. Der Code, der dieses Bild erzeugte, hat folgendes Aussehen: \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(3,3){ \special{gr setpoint 0, [3,3], [0,3]; poly 0,1; poly [0,1]1/2, 2;}}} \end{verbatim} \end{quote} Setzt man statt einer Punktnummer den Ausdruck $[p,q]\lambda$ ein, so wird damit der Punkt $p(1-\lambda)+q\lambda$ spezifiziert. \verb|[0,1]1/2| ist also der Punkt genau in der Mitte zwischen den Punkten 0 und 1. F"ur $\lambda$ \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,3) \special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3] [2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; closedpoly 0-3; closedpoly 4-7} \end{picture} %\caption{Zwei Quadrate}\label{la5} %\end{figure} } kann "ubrigens ein beliebiger Ausdruck\footnote{Lesen Sie dazu auch den Abschnitt "uber Ausdr"ucke} stehen, der z.B.\ aus reellen Zahlen, den vier Grundrechenarten und runden Klammern gebildet wird. Anstatt der Punktenummern $p$ und $q$ kann auch wieder ein Ausdruck der Form $[p',q']\lambda'$ stehen. Jetzt soll folgendes Problem gel"ost werden: Zwei Quadrate sind wie in der Abbildung links gegeben, die "ubrigens folgenderma"sen erzeugt wurde: \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \centerline{\picture(3,3){ \special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3] [2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; closedpoly 0-3; closedpoly 4-7}}} \end{verbatim} \end{quote} \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,3) \special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3] [2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; closedpoly 0-3; closedpoly 4-7; setlinecap round arrow; poly [0,1]1/2, ([0,1]1/2,[4,7]1/2), [4,7]1/2} \end{picture} %\caption{Verbindungsgerade halbautomatisch}\label{la6} %\end{figure} } Das linke obere Quadrat hat die Eckpunkte 0,1,2,3 das rechte untere die Eckpunkte 4,5,6,7. Nun soll ein Pfeil von der Mitte der Unterkante des linken Quadrats zur Mitte der linken Kante des rechten Quadrats gezeichnet werden. Dies geschieht durch folgenden zus"atzlichen Befehl im \verb|\special|-Kommando mit dem Ergebnis, das links zu sehen ist. \begin{quote} \begin{verbatim} setlinecap round arrow; poly [0,1]1/2, ([0,1]1/2,[4,7]1/2), [4,7]1/2 \end{verbatim} \end{quote} Die Schreibweise $(p,q)$ spezifiziert einen Punkt, der die $x$-Koordinate von $p$ und die $y$-Koordinate von $q$ besitzt. Selbstverst"andlich kann auch diese Schreibweise wieder beliebig geschachtelt werden. Das Kommando {\tt set\-li\-ne\-cap round arrow} dient lediglich der Darstellung von Pfeilspitzen am hinteren Ende einer Linie. Die verschiedenen M"oglichkeiten, Linienenden zu gestalten, werden sp"ater gesondert besprochen. Eine andere M"oglichkeit, den Pfeil zu erhalten, stellt folgendes \dvi/\dvilw-Kommando dar: \begin{quote} \begin{verbatim} poly [0,1]1/2, (@,[4,7]1/2), (4,@) \end{verbatim} \end{quote} Das Symbol {\tt @} steht bei einem Linienkommando wie \verb|poly| f"ur den in der Punkteliste zuletzt spezifizierten Punkt, im ersten Fall also f"ur den Punkt {\tt [0,1]1/2} und im zweiten Fall f"ur den Punkt {\tt ([0,1]1/2,[4,7]1/2)}. \subsubsection{Das Zeichnen von Punkten} Bisher wurden die verwendeten Punkte als mathematisches Objekt ohne r"aumliche Ausdehnung betrachtet und durch Linien verbunden. Es ist \marginlabel{ %\begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,3) \special{gr setpoint 0[0,2] [1,2] [1,3] [0,3] [2,0] [3,0] [3,1] [2,1]; dot 0-7} \end{picture} %\caption{Punkte}\label{la5a} %\end{figure} } jedoch auch m"oglich, an Punktepositionen gef"ullte Kreise mit beliebigen Durchmesser zu zeichnen. Hierzu werden die Befehle {\tt dot} und {\tt setdotsize} verwendet. Wenn dieselben Punkte, die schon im Bild mit den Quadraten verwendet wurden, als Grafikpunkte der Dicke~$2.4$~{\it pt\/} dargestellt werden, ergibt sich das Bild links. Im Code wurden lediglich die beiden {\tt closedpoly}-Anweisungen durch {\tt dot 0-7} ersetzt. \subsubsection{Das Zeichnen von Linien} Die nun folgenden Beispiele sollen zeigen, welche M"oglichkeiten bestehen, verschiedene Kurven durch definierte Punkte zu ziehen. Zun"achst seien die folgenden 5 Punkte definiert: \begin{quote} \begin{verbatim} setpoint 0[1,0] [2,0] [2,1] [0,1] [0,0] \end{verbatim} \end{quote} Dann ergeben sich die M"oglichkeiten von Abbildung~\ref{la7}. \begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{0.8cm} \special{gr setlinecap} \begin{picture}(11,2) \special{gr setpoint 0[1,1] [2,1] [2,2] [0,2] [0,1]; poly 0-4;dot 0-4}\put(0,0){\scriptsize\tt poly 0-4}% \special{gr setpoint 0[4,1] [5,1] [5,2] [3,2] [3,1]; closedpoly 0-4; dot 0-4}% \put(3,0){\scriptsize\tt closedpoly 0-4} \special{gr setpoint 0[7,1] [8,1] [8,2] [6,2] [6,1]; spline 0-4; dot 0-4}% \put(6,0){\scriptsize\tt spline 0-4} \special{gr setpoint 0[10,1] [11,1] [11,2] [9,2] [9,1]; closedspline 0-4; dot 0-4}% \put(9,0){\scriptsize\tt closedspline 0-4} \end{picture} \caption{Kurven durch Punkte}\label{la7} \end{figure} \subsubsection{Spline-Kurven} Zun"achst betrachten wir die dritte Kurve n"aher, den sog.\ {\bf Spline}. Tja, und was ist nun ein Spline? Grob gesagt, eine Kurve, die irgendwie durch eine Anzahl von Kontrollpunkten, die die Kurve definieren, verl"auft. Abbildung~\ref{la11} zeigt einen Spline, der durch zwei Endpunkte gegeben ist. \begin{figure}[hbpt]\centering \setdefaults \setunitlength{1pt} \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{round round} \put(10,10){\setpoint0}\put(90,70){\setpoint1}\spline{0-1} \special{gr dot 0-1} \end{picture} \caption{Spline mit zwei Endpunkten}\label{la11} \end{figure} Solche Splines werden, wenn sie nicht nur durch zwei Punkte bestimmt sind, mit Hilfe von B\'ezierkurven gezeichnet. Eine solche B\'ezierkurve ist durch vier Punkte bestimmt, wie in Abbildung~\ref{la12} zu sehen ist. Die B\'ezierkurve l"auft durch die beiden Endpunkte, jeweils in Richtung der beiden Kontrollpunkte, die in Abh"angigkeit von ihrer Entfernung zur Kurve globale Kontrolle unterschiedlicher St"arke aus"uben. Man kann sich die Kontrollpunkte als fest verankerte Magneten vorstellen, die die bewegliche Kurve anziehen, bis sich ein Gleichgewicht eingestellt hat. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{round round} \put(10,10){\setpoint0}\put(30,70){\setpoint1}\put(70,90){\setpoint2} \put(90,20){\setpoint3}\hermitespline{1,0,3,2} \special{gr dot 0-3; setlinecap round round; setdash 2pt; poly 0-1; poly 3-2; poly 1-2; setdash} \end{picture} \caption{B\'ezierkurve}\label{la12} \end{figure} Soll ein Spline nun durch eine beliebige Anzahl von Punkten laufen, wird er aus vielen B\'ezierkurven zusammengesetzt. Die Lage der Kontrollpunkte wird dabei so bestimmt, da"s die "Uberg"ange immer glatt aussehen. Lediglich der erste Kontrollpunkt der ersten B\'ezierkurve und der zweite Kontrollpunkt der letzten B\'ezierkurve sind dadurch nicht bestimmt. Bei einem {\em nat"urlichen Spline\/} werden diese Kontrollpunkte so gew"ahlt, da"s der Spline in den Endpunkten keine Kr"ummung mehr hat. Abbildung~\ref{la13} zeigt einen nat"urlichen Spline durch drei Punkte. Die Kontrollpunkte der B\'ezierkurven sind hier nicht mehr zu sehen, diese werden ohnehin automatisch berechnet. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{round round} \put(10,50){\setpoint0}\put(50,70){\setpoint1}\put(90,10){\setpoint2} \spline{0-2}\special{gr dot 0-2} \end{picture} \caption{Nat"urlicher Spline}\label{la13} \end{figure} \subsubsection{Splines f"ur fortgeschrittene Aufgaben} Die n"achsten Beispiele sollen zeigen, da"s es auch m"oglich ist, Splines mit vorgegebenen Ableitungen an den Enden zu zeichnen. Dazu seien die folgenden Punkte gegeben: \begin{quote} \begin{verbatim} setpoint 0[0,0] [1,1] [2,2] [1,0] [1,2] \end{verbatim} \end{quote} Die Punkte 3 und 4 sollen in diesem Beispiel die Ableitungen definieren. In der Praxis sieht dies aus, wie Abbildung~\ref{la8}. \begin{figure}[hbtp]\centering \setunitlength{0.8cm} \special{gr setlinecap} \begin{picture}(13,3) \special{gr setpoint 0[0,1] [1,2] [2,3] [1,1] [1,3]; lefthermitespline 3,0-2; setdash 2pt; setlinecap round round; poly 3,0; setdash; setlinecap; dot 0-3}% \put(0,0){\scriptsize\tt lefthermitespline 3,0-2} \special{gr setpoint 0[5,1] [6,2] [7,3] [6,1] [6,3]; righthermitespline 0-2,4; setdash 2pt; poly 2,4; setdash; dot 0-2,4}% \put(5,0){\scriptsize\tt righthermitespline 0-2,4} \special{gr setpoint 0[10,1] [11,2] [12,3] [11,1] [11,3]; hermitespline 3,0-2,4; setdash 2pt; poly 3,0; poly 2,4; setdash; dot 0-4}% \put(10,0){\scriptsize\tt hermitespline 3,0-2,4} \end{picture} \caption{Hermitesche Splines}\label{la8} \end{figure} Die Praxisvorgabe ist die Aufgabe, Kurven zeichnen zu m"ussen, die eine bestimmte Anfangs- und/oder Endrichtung haben sollen. Nehmen wir zum Beispiel an, der Spline in Abbildung~\ref{la13} soll im linken Endpunkt senkrecht nach oben hinauslaufen und im rechten Endpunkt senkrecht nach unten einm"unden. Dies kann durch die zus"atzliche Vorgabe der beiden noch freien Kontrollpunkte am Anfang und Ende geschehen. Ein solchen Spline wollen wir hier {\it Hermiteschen Spline\/} nennen. Abbildung~\ref{la14} zeigt das Ergebnis. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{round round} \put(10,50){\setpoint0}\put(50,70){\setpoint1}\put(90,10){\setpoint2} \put(10,70){\setpoint3}\put(90,30){\setpoint4} \hermitespline{3,0-2,4}\special{gr dot 0-4; setdash 2pt; poly 0,3; poly 4,2; setdash} \end{picture} \caption{Hermitescher Spline}\label{la14} \end{figure} Bei einem \verb|lefthermitespline| dient der erste Punkt in der Liste dazu, die Richtung der Kurve zu definieren, d.h.\ die Kurve startet im {\em zweiten\/} Punkt der Liste in Richtung des {\em ersten\/} Punktes. Je weiter dieser erste Punkt vom Startpunkt entfernt ist desto ausgepr"agter ist die Richtungsvorgabe. Ein \verb|righthermitespline| ist das Analogon zum \verb|lefthermitespline|, nur ist hier die Richtung im letzten Punkt der Liste vorgegeben. Die Kurve endet im {\em vorletzten\/} Punkt in die Richtung des {\em letzten\/} Punktes zeigend. Zwei solcher Kurven sind in Abbildung~\ref{la15} zu sehen. Die untere der beiden Kurven hat im linken Punkt eine vorgegebene Richtung, die obere Kurve im rechten Randpunkt. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{round round} \put(10,30){\setpoint0}\put(90,30){\setpoint1} \put(30,50){\setpoint2}\lefthermitespline{2,0-1} \special{gr dot 0-2; setdash 2pt; setlinecap round round; poly 0,2; setdash} \put(10,70){\setpoint0}\put(90,70){\setpoint1} \put(70,50){\setpoint2}\righthermitespline{0-1,2} \special{gr dot 0-2; setdash 2pt; poly 1,2; setdash} \end{picture} \caption{Halbe Hermitesche Splines}\label{la15} \end{figure} Beim \verb|hermitespline| sind die Richtungen in beiden Endpunkten der Kurve, also im {\em zweiten\/} und {\em vorletzten\/} Punkt der Liste vorgegeben. Die Kurve startet in Richtung des {\em ersten\/} angegebenen Punktes und endet in die Richtung des {\em letzten\/} angegebenen Punktes zeigend. Eine weitere Sorte von Splines sind geschlossene Splines, wie einer in Abbildung~\ref{la16} zu sehen ist. Der Grafikbefehl ist --- wie nicht anders zu erwarten --- analog zum {\tt spline}-Befehl {\tt closedspline} und hat als Parameter eine Kontrollpunktliste. Der erste und letzte Punkt werden so miteinander verbunden, da"s eine glatte Kurve entsteht. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \put(10,10){\setpoint0} \put(50,30){\setpoint1} \put(90,20){\setpoint2} \put(40,90){\setpoint3}\closedspline{0-3} \special{gr dot 0-3} \setlinecap{arrow arrow} \end{picture} \caption{Geschlossener Spline}\label{la16} \end{figure} \subsubsection{Das Zeichnen von Geraden} Bei all diesen bisher gezeichneten Splines handelt es sich um sogenannte {\em kubische\/} Splines. Es gibt allerdings auch noch die M"oglichkeit {\em lineare\/} Splines zu zeichnen. Diese linearen Splines sind Polygone. Abbildung~\ref{la17} zeigt einen einfachen Polygonzug, Abbildung~\ref{la18} einen geschlossenen Polygonzug. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{round round} \put(10,10){\setpoint0} \put(50,30){\setpoint1} \put(90,20){\setpoint2} \put(40,90){\setpoint3}\poly{0-3} \special{gr dot 0-3} \end{picture} \caption{Polygonzug}\label{la17} \end{figure} \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{arrow arrow} \put(10,10){\setpoint0} \put(50,30){\setpoint1} \put(90,20){\setpoint2} \put(40,90){\setpoint3}\closedpoly{0-3} \special{gr dot 0-3} \end{picture} \caption{Geschlossener Polygonzug}\label{la18} \end{figure} Die Befehle zum Zeichnen dieser Polygonz"uge sind {\tt poly} und {\tt closedpoly} und erwarten als Parameter jeweils eine Punktliste. \subsubsection{Das Zeichnen von gef"ullten Fl"achen} Es ist m"oglich, beliebige \TeX-Ausgaben an einem geschlossenen Kurvenzug, unabh"angig davon, aus welchen Teilen er besteht, zu kappen. Eine Demonstration dieser M"oglichkeit stellt Abbildung~\ref{la19} dar, die eine Fl"ache enth"alt, die von einem Spline und einem Polygonzug begrenzt ist und mittels Kappen an der Begrenzungslinie mit einer \verb|\hrule| gef"ullt wurde. \begin{figure}[hbpt]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \setlinecap{round arrow} \put(0,0){\setpoint0}\put(110,0){\setpoint1}\spline{0-1} \put(0,110){\setpoint1}\spline{0-1} \setlinecap{arrow arrow} \put(10,10){\setpoint0} \put(50,40){\setpoint1} \put(90,20){\setpoint2} \put(40,30){\setpoint3} \defclip\spline{0-2}\poly{2,3,0}\clip\vbox{ \hrule width 110pt height 110pt depth 110pt}\endclip \special{gr dot 0-3} \end{picture} \caption{Gef"ullte Fl"ache}\label{la19} \end{figure} Das F"ullen geschieht durch Angabe eines Clippfades und beliebigen \TeX-Ausgaben, die bez"uglich dieses Pfades gekappt werden. Die Definition des Clippfades geschieht mit dem Befehl {\tt defclip}, der den Beginn eines Clippfades markiert und mit dem Befehl {\tt clip}, der den Clip\-pfad abschlie"st und gleichzeitig das Kappen einschaltet. Wird statt {\tt clip} der Befehl {\tt whiteclip} verwendet, wird das Innere des Clippfades gel"oscht. Alle folgenden Ausgaben werden bez"uglich dieses Pfades gekappt, bis der {\tt endclip}-Befehl das Kappen ausschaltet. Zur einfacheren Handhabung von F"ullmustern betrachten Sie bitte die zwei Macros {\tt fill(x,y)$\{\}$} und {\tt sfill(x,y)$\{\}$}, die folgenderma"sen definiert sind: \begin{quote} \begin{verbatim} \newbox\fillbox \newdimen\fillshift \newdimen\fillwidth \def\fill(#1,#2)#3{\setbox0\hbox to #1\unitlength{ \cleaders\hbox{#3}\hfil}\loop \ifdim\ht\fillbox<#2\unitlength\setbox\fillbox \vbox{\unvbox\fillbox\copy0}\repeat\hbox to 0pt{ \vbox to 0pt{\vss\box\fillbox\vglue0pt}\hss}} \def\sfill(#1,#2)#3{\setbox0\hbox{#3}% \fillshift=0.5\wd0\fillwidth=#1\unitlength\loop \ifdim\ht\fillbox<#2\unitlength\setbox\fillbox\vbox{ \unvbox\fillbox\hbox to\fillwidth{\cleaders\hbox{#3} \hfil}}\advance\fillwidth by\fillshift\fillshift= -\fillshift\repeat\hbox to 0pt{\vbox to 0pt{\vss\box \fillbox\vglue0pt}\hss}} \end{verbatim} \end{quote} Ausgehend von der aktuellen Position wird ein rechteckiger Bereich der Breite {\tt x} und H"ohe {\tt y} mit dem jeweiligen beliebigen Parameterinhalt "uberdeckt. Bei Verwendung von {\tt fill} wird der Parameter in aufeinanderfolgenden Zeilen direkt untereinander gedruckt, bei {\tt sfill} dagegen etwas seitlich verschoben. Als Anwendung der F"ullbefehle betrachten Sie bitte folgenden \LaTeX-Code, mit dem Abbildung~\ref{la19} erzeugt wurde: \begin{quote} \begin{verbatim} \begin{figure}[hbp]\centering \begin{picture}(110,110)(0,0) \special{gr setlinecap round arrow} \put(0,0){\special{gr setpoint 0}} \put(110,0){\special{gr setpoint 1} \special{gr spline 0-1}} \put(0,110){\special{gr setpoint 1} \special{gr spline 0-1}} \special{gr setlinecap arrow arrow} \put(10,10){\special{gr setpoint 0; dot 0}} \put(50,40){\special{gr setpoint 1; dot 1}} \put(90,20){\special{gr setpoint 2; dot 2}} \put(40,30){\special{gr setpoint 3; dot 3}} \special{gr defclip; spline 0-2; poly 2,3,0; clip} \put(0,0){}\vbox{\hrule width 110pt height 110 pt depth 110pt}\special{gr endclip} \end{picture} \caption{Gef"ullte Fl"ache} \end{figure} \end{verbatim} \end{quote} Nat"urlich ist es manchmal l"astig, sich ein F"ullmuster als \TeX/\LaTeX-Code auszudenken, weil sich F"ullmuster oft als Bitmap leichter definieren lassen. Wenn Sie anstelle der {\tt clip}- bzw.\ {\tt whiteclip}-Befehle den {\tt patclip}-Befehl verwenden, wird der Clipbereich mit einem durch {\tt defpattern} angegebenen F"ullmuster gef"ullt. Die Parameter dieses Befehls sind {\it genau acht Bytes\/}, die das F"ullmuster spezifizieren. Im Moment sind also auch nur F"ullmuster mit $8\times 8$-Pixeln m"oglich. Die Bytes selbst werden als Dezimalzahl angegeben und jedes gesetzte Bit entspricht einem gesetzten Pixel im F"ullmuster. Erinnern Sie sich noch an Abbildung~\ref{llitps}? Die Realisierung dieses Bildchens mit Treiber-Befehlen sieht wie folgt aus: \begin{quote} \begin{verbatim} \setdefaults\setunitlength{1bp} \begin{picture}(354,100)(0,0) \put(0,0){\setpoint{0}} \put(100,100){\setpoint{1}} \put(354,0){\setpoint{2}} \defpattern{170,85,170,85,170,85,170,85} \defclip\closedpoly{0-2}\patclip\endclip \setlinewidth{1 pt}\closedpoly{0-2} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} Das Ergebnis k"onnen Sie in Abbildung~\ref{ltrps} bewundern. \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults\setunitlength{1bp} \begin{picture}(354,100)(0,0) \put(0,0){\setpoint{0}} \put(100,100){\setpoint{1}} \put(354,0){\setpoint{2}} \defpattern{170,85,170,85,170,85,170,85} \defclip\closedpoly{0-2}\patclip\endclip \setlinewidth{1 pt}\closedpoly{0-2} \end{picture} \caption{Anwendungsbeispiel f"ur {\tt defpattern}, {\tt patclip}}\label{ltrps} \end{figure} Als kleines Bonbon folgt noch die etwas umfangreichere Abbildung~\ref{luni}, damit Sie sehen, was Sie jetzt beispielsweise zeichnen k"onnen, falls Ihnen nicht gerade eine \TeX-Implementation mit Speicherbeschr"ankungen den Spa"s verdirbt (\TeX\ capacity exceeded $\dots$). \setdefaults \begin{figure}[htbp]\centering \input uni % % fuer PCs leider keine Universitaet, sondern \input uni auskommentieren % und folgende Zeilen aktivieren % %\frame{ %\begin{picture}(130,115)(3.8,-10) %\end{picture} % LaTeX %} \caption{Augsburg University}\label{luni} \end{figure} \subsubsection{Platzhalter, Funktionen und Ausdr"ucke} Speziell bei Aufgabenstellungen aus dem naturwissenschaftlichen Bereich sind nicht nur einzelne Punkte von Grafiken bekannt, die durch Geraden bzw.\ interpolierende Kurven miteinander verbunden werden, sondern die mathematischen Formeln, die die Grafik vollst"andig beschreiben. F"ur solche Anwendungen bieten die Treiber die M"oglichkeit, mit Werten, Variablen, Funktionen und Ausdr"ucken, die aus den Grundrechenarten und diesen Konstrukten --- also wiederum Werten, Variablen und Auswertungen von Funktionen --- aufgebaut sind, zu arbeiten. Das Schl"usselwort {\tt def} dient zur Definition von Variablen und Funktionen. Dazu gibt man einen (bei Funktionen noch undefinierten) Namen als Platzhalter an, bei Funktionen gefolgt von in runden Klammern eingeschlossenen Platzhaltern der Parameter, und l"a"st nach einem $=$-Zeichen den definierenden Ausdruck folgen. Die Definition wird durch einen Strichpunkt abgeschlossen, wenn noch weitere Treiberkommandos im selben \verb|\special|-block folgen. So definieren z.B. \begin{quote}\tt def factor=365.3/0.33; \end{quote} und \begin{quote}\tt def test(x,n)=sin(x/n); \end{quote} eine Variable {\tt factor} mit aktuellem Wert~1106.97 bzw.\ eine Funktion {\tt test} in Abh"angigkeit von den Parametern {\tt x} und {\tt n}. Die Variablen und Funktionen aus Abbildung~\ref{lkofu} sind bereits vordefiniert: \begin{figure}[hbtp]\centering \begin{tabular}{|l|l|} \hline \tt pi & Kreiszahl $\pi=3.1415\dots$ \\ \tt e & Eulerkonstante $e=2.71828\dots$\\ \tt sin(x) & Sinus\\ \tt cos(x) & Cosinus\\ \tt tan(x) & Tangens\\ \tt asin(x) & Arcus Sinus\\ \tt acos(x) & Arcus Cosinus\\ \tt atan(x) & Arcus Tangens\\ \tt exp(x) & Exponentialfunktion\\ \tt ln(x) & nat"urlicher Logarithmus\\ \tt log(x) & 10er Logarithmus\\ \tt pow(x,y) & Potenzierung $x^y$\\ \tt jump(y0,y1,x) & \tt if (x<0) jump=y0; else jump=y1;\\ \hline \end{tabular} \caption{Vordefinierte Variablen und Funktionen}\label{lkofu} \end{figure} \subsubsection{Kurven im $\R^2$} Durch die gerade beschriebenen M"oglichkeiten kann man z.B.\ fast beliebige Kurven im $\R^2$ zeichnen, indem man selbstdefinierte oder vordefinierte Funktionen benutzt, um die Offsets des {\tt setpoint}-Kommandos zu berechnen. Abbildung~\ref{lkurv} zeigt ein Beispiel. \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults \begin{picture}(100,100)(0,0) \special{gr def gauss(x)=exp(-x*x);} \put(0,0){\special{gr setpoint 0[0,100*gauss(-2.5)] 1[10,100*gauss(-2)] 2[20,100*gauss(-1.5)] 3[30,100*gauss(-1)] 4[40,100*gauss(-0.5)] 5[50,100*gauss(0)] 6[60,100*gauss(0.5)] 7[70,100*gauss(1)] 8[80,100*gauss(1.5)] 9[90,100*gauss(2)] 10[100,100*gauss(2.55)]; spline 0-10}} \end{picture} \caption{Gauss-Glockenkurve}\label{lkurv} \end{figure} Der \LaTeX-Code zum Erzeugen von Abbildung~\ref{lkurv} hat folgendes Aussehen: \begin{quote} \begin{verbatim} \setdefaults \begin{picture}(100,100)(0,0) \special{gr def gauss(x)=exp(-x*x);} \put(0,0){\special{gr setpoint 0[0,100*gauss(-2.5)] 1[10,100*gauss(-2)] 2[20,100*gauss(-1.5)] 3[30,100*gauss(-1)] 4[40,100*gauss(-0.5)] 5[50,100*gauss(0)] 6[60,100*gauss(0.5)] 7[70,100*gauss(1)] 8[80,100*gauss(1.5)] 9[90,100*gauss(2)] 10[100,100*gauss(2.5)]; spline 0-10}} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} Bitte beachten Sie, da"s dieses Beispiel nur zur Demonstration des eben Besprochenen dient. Es gibt wesentlich bequemere Methoden, Bild~\ref{lkurv} zu erzeugen, indem man die Wiederholm"oglichkeiten der Grafikbefehle ausnutzt. Dazu mehr im n"achsten Abschnitt! \subsubsection{Das wiederholte Zeichnen gleicher Objekte} Eine immer wiederkehrende Aufgabe liegt im wiederholten Zeichnen von bestimmten Objekten an verschiedenen Positionen. Beim {\tt setpoint}-Kom\-man\-do, allen Linientypen und dem {\tt dot}-Befehl ist diese Wiederholungsm"oglichkeit durch Angabe eines Wiederholungsfaktors mit zugeh"origen Offsets gegeben. Die Syntax der entsprechenden Befehle lautet nun \begin{compout} setpoint \ \ \\quad{\rm und}\\ command \ \ \$\,${\rm ,} \end{compout} wobei {\tt command} einer der Befehle {\tt dot}, {\tt spline}, etc.\ ist. Der Wiederholfaktor {\tt repeated} hat folgenden Aufbau: \begin{compout} \=\..\:\ \end{compout} Der Bezeichner {\tt identifier} darf noch nicht definiert sein! Durch die Aus\-dr"u"cke {\tt expression1} und {\tt expression2} wird der Parameterbereich des Bezeichners bestimmt und durch {\tt expression3} schlie"slich die Anzahl Wiederholungen angegeben. Dabei geschehen zwei Dinge: Zum einen wird das gesamte {\tt setpoint} bzw.\ Linienkommando sooft wiederholt, wie durch {\tt expression3} angegeben, zum anderen werden genausoviele "aquidistante Punkte, die den Paramterbereich vollst"andig "uberdecken, erzeugt. Im Falle des {\tt setpoint}-Kommandos werden beginnend mit dem Startpunktindex so viele weitere Punkte erzeugt, wie durch den Wiederholfaktor angegeben. Der Bezeichner kann in der folgenden Offsetangabe {\tt position} verwendet werden und enth"alt in der aktuellen Wiederholung jeweils einen Parameterwert im Parameterbereich. Als Besonderheit kann bei der Offsetangabe bei Wiederholungen zus"atzlich ein Rotationsfaktor angegeben werden, der eine Drehung bei jeder Wiederholung bewirkt. Der Rotationsfaktor ist ein Ausdruck, der den absoluten Drehwinkel bez"uglich der Position des durch {\tt setpoint} definierten Punktes angibt, falls nicht in eckigen Klammern ein anderer Bezugspunkt folgt. Ein Beispiel f"ur diese Anwendung folgt beim Zeichnen von Kreisen und Ellipsen. Die Wiederholung l"a"st sich --- je nach Speicherausbau des verwendeten Computers --- bis zu zehnfach verschachteln. Eine Anwendung dieser Wiederholung/Verschachtelung ist das Koordinatengitter links, das durch folgende \LaTeX-Anweisungen erzeugt wurde: \marginpar{ \setdefaults \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,3) \put(0,0){\setpoint{0[0,0]} \special{gr dot 0 x=0..3:7 y=0..3:7 [x,y]}} \end{picture} } \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{1cm} \begin{picture}(3,3) \put(0,0){\setpoint{0[0,0]} \special{gr dot 0 x=0..3:7 y=0..3:7 [x,y]}} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} Bitte beachten Sie, da"s der erste Punkt in der Punktliste bei Verwendung von Wiederholfaktoren mit Linienkommandos schon definiert sein mu"s, damit die Offsets an einer definierten Stelle ansetzen! Im vorherigen Beipiel wurde dies durch das vorangehende {\tt setpoint}-Kommando erreicht! Die Verwendung von Wiederholfaktoren mit Linienkommandos demonstriert Abbildung~\ref{lmulsin}, bei der mehrere Sinuskurven entlang einer Parabelbahn erzeugt werden. Der zugeh"orige \LaTeX-Code sieht wie folgt aus: \begin{quote} \begin{verbatim} \setunitlength{2cm} \begin{picture}(4.15,3) \put(0,1){\special{gr setpoint 0 t=0..2*pi:50[t/2,sin(t)]; spline 0-49 x=0..1:25[x,x*x]}} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults \setunitlength{2cm} \begin{picture}(4.15,3) \put(0,1){\special{gr setpoint 0 t=0..2*pi:50[t/2,sin(t)]; spline 0-49 x=0..1:25[x,x*x]}} \end{picture} \caption{Wiederholfaktoren mit Linienkommandos}\label{lmulsin} \end{figure} \subsubsection{Das Zeichnen von Teilobjekten} Manchmal ben"otigt man in einer Zeichnung nur Teilst"ucke einer bekannten Gesamtkurve. F"ur solche F"alle kann man Punktlisten mit einem oder mehreren zus"atzlichen Auswahlparametern versehen. Die Syntax ist wie folgt beschrieben: \begin{compout} command \:\..\ \end{compout} Dabei \marginlabel{ \setdefaults\setunitlength{1pt} \begin{picture}(95,95) \put(0,0){\special{gr setpoint 0[5,5] 1[15,60] 2[40,25] 3[60,90] 4[90,5]}} \special{gr spline 0-4:0..1.1:1.7..2.8:3.3..3.9; dot 0-4} \end{picture} } ist {\tt command} einer der Linienbefehle {\tt poly}, {\tt spline}, etc. Die Punktliste {\tt \} besteht aus zwei oder mehr Punkten. Das Zeichen \glqq :\grqq\ ist das syntaktische Erkennungszeichen f"ur einen Auswahlparameter und die beiden Parameter {\tt expr} sind zwei Gleitpunktzahlen, die die Auswahl des Kurvenst"ucks vornehmen. Der Wert dieser Zahlen mu"s im Bereich $0\le{\tt expr}\le n-1$ liegen, wobei $n$ die Anzahl der Punkte in der Punktliste ist. Ansonsten sollten die L"angenangaben die L"ange der erzeugten Kurve nicht "uberschreiten. Die wiederholte Angabe von Auswahlparametern ist zul"assig. Folgender \LaTeX-Code liefert das Bild links: \begin{quote} \begin{verbatim} \setdefaults \setunitlength{1pt} \begin{picture}(95,95) \put(0,0){\special{gr setpoint 0[5,5] 1[15,60] 2[40,25] 3[60,90] 4[90,5]}} \special{gr spline 0-4:0..1.1:1.7..2.8:3.3..3.9; dot 0-4} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} Falls Auswahl- und Wiederholungsparameter gleichzeitig benutzt werden, mu"s die Angabe des Auswahlparameters zuerst erfolgen! \subsubsection{Das Zeichnen von Kreisen und Ellipsen} Eine weitere Aufgabe besteht darin, einen Kreis oder eine Ellipse zu zeichnen, ohne dabei selbst die Koordinaten einiger St"utzpunkte auf der Kreislinie angeben zu m"ussen. Dies geschieht durch Berechnung der Parameterdarstellung der Kreis- bzw.\ Ellipsengleichung in der Ebene. Dazu folgende Aufgabe: Gegeben seien ein Startwinkel $\phi_0$ und ein Endwinkel $\phi_1$ in Grad, ein Mittelpunkt $x,y$, horizontale und vertikale Halbachse $r_x,r_y$, die Anzahl approximierender Punkte $n$ sowie ein Drehwinkel bez"uglich des Mittelpunktes $\alpha$. Gesucht sind die Grafikbefehle der Treiber zum Zeichnen des zugeh"origen Ellipsenbogens. Als L"osung werden die $n$ Punkte mit Hilfe eines Wiederholfaktors und der Parameterdarstellung der Ellipse erzeugt, um $\alpha$ gedreht und schlie"slich mit einem Spline verbunden. Der Code zum Zeichnen sieht dann wie folgt aus: \begin{quote} \begin{verbatim} \special{gr def t0=phi0*pi/180; def t1=phi1*pi/180; def rot=alpha*pi/180; setpoint 0 t=t0..t1:n[rx*cos(t)+x,ry*sin(t)+y:rot[x,y]]; spline 0-n-1} \end{verbatim} \end{quote} Mit den Parametern $x=50$, $y=50$, $r_x=50$, $r_y=20$, $\phi_0=0$, $\phi_1=270$, $\alpha=15$ und $n=12$ ergibt das die Punkte von Abbildung~\ref{la9} links, die verbunden durch einen Spline den Ellipsenbogen in Abbildung~\ref{la9} rechts zeichnen. \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults\setunitlength{1pt} \begin{picture}(250,80) \put(0,0){ \special{gr def t0=0*pi/180; def t1=270*pi/180; def rot=15*pi/180; setpoint 0 t=t0..t1:12[50*cos(t)+50,20*sin(t)+50:rot[50,50]]; dot 0-11; setpoint 0 t=t0..t1:12[50*cos(t)+200,20*sin(t)+50:rot[200,50]]; spline 0-11}} \end{picture} \caption{Ellipsenbogen}\label{la9} \end{figure} \subsubsection{Das Zeichnen von Polynomen und Polygonen} Zwei Arten von Kurven in der Ebene werden h"aufig zur Darstellung von Grafiken verwendet und sollen deshalb eigens erw"ahnt werden, n"amlich Polynome und Polygone. Ein Polynom in der Ebene ist gegeben durch \begin{displaymath} \left(\begin{array}{cc} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \ldots\\ b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + \ldots \end{array}\right)\,\mbox{,} \end{displaymath} wobei $n$ Punkte bei den "aquidistanten Parameterwerten $t_s + (i\cdot ((t_e-t_s)/(n-1)))\quad 0\le i\le n-1$ berechnet werden. Durch Verwendung eines Wiederholfaktors l"a"st sich ein solches Polynom sehr einfach darstellen. Der Parameterbereich wird durch den Bezeichner im Wiederholfaktor abgedeckt und die Polynomgleichung wird einfach zur Berechnung der Offsets herangezogen. Als Beispiel ist das Polynom \begin{displaymath} \left(\begin{array}{cc} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} -4*t+t^3\\ -4+t^2\\ \end{array}\right)\,\mbox{,} \end{displaymath} in Abbildung~\ref{la10b} zu sehen. Der zugeh"orige \LaTeX-Code ist: \begin{quote} \begin{verbatim} \setdefaults\setunitlength{1cm} \begin{picture}(12,7) \special{gr setdotsize 2pt} \put(6,4){ \special{gr setpoint 0 t=-2.5..2.5:16[-4*t+t*t*t,-4+t*t]; dot 0-15; spline 0-15; }} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults\setunitlength{1cm} \begin{picture}(12,7) \special{gr setdotsize 2pt} \put(6,4){ \special{gr setpoint 0 t=-2.5..2.5:16[-4*t+t*t*t,-4+t*t]; dot 0-15; spline 0-15; }} \end{picture} \caption{Ein {\tt setpoint} Polynom}\label{la10b} \end{figure} Ein (evtl.\ offenes) Polygon wird dadurch erzeugt, da"s man zu einem gegebenen Startpunkt $x,y$ die Seitenl"ange $l$ und einen Startwinkel $\alpha$ sowie einen Winkel $\beta$, der bei jedem erzeugten Punkt auf den bisherigen Winkel aufaddiert wird, angibt. Links sehen Sie ein Beispiel, in dem die entsprechenden Parameter in einer Zeichnung verdeutlicht werden. \marginlabel{ \setdefaults\setunitlength{1pt} \begin{picture}(90,90) \put(0,0){\special{gr def p1=360/5*pi/180/2; def p0=10*pi/180; def x0=15; def y0=0; def l=60; setpoint 0 t=0..3:4[ x0+l*sin(t*p1)/sin(p1)*cos((1-t)*p1-p0), y0-l*sin(t*p1)/sin(p1)*sin((1-t)*p1-p0)]; poly 0-3; setdash 2pt; setdotsize 5 pt; dot 0; setpoint 4[70,0]; poly 0,4; setpoint 5[15+(l+15)*cos(p0),(l+15)*sin(p0)]; poly 1,5; setpoint 6[15+l*cos(p0)+(l+15)*cos(2*p1+p0), l*sin(p0)+(l+15)*sin(2*p1+p0)]; poly 2,6;}}\ignorespaces \put(10,8){\makebox(0,0){$x,y$}} \put(55,4){\makebox(0,0){$\alpha$}} \put(83,20){\makebox(0,0){$\beta$}} \put(79,81){\makebox(0,0){$\beta$}} \put(51,79){\makebox(0,0){$l$}} \put(74,45){\makebox(0,0){$l$}} \put(45,11){\makebox(0,0){$l$}} \end{picture} } Als eine Art Kochrezept zum Zeichnen von Polygonen kann folgendes Vorgehen dienen. F"ur ein Polygon, das durch $n$ Punkte definiert werden soll, erzeugt man sich $n$ Punkte $z_i=\left(\begin{array}{cc}x_i\\y_i\\\end{array}\right)$ durch die Iterationsvorschrift \begin{displaymath} z_i=\left(\begin{array}{cc}x\\y\\\end{array}\right)+\frac{l\cdot \sin(i\cdot \gamma)}{\sin(\gamma)} \cdot\left(\begin{array}{rr}\cos((1-i)\cdot \gamma -\alpha)\\-\sin((1-i)\cdot \gamma - \alpha)\\ \end{array}\right)\quad{\rm ,} \end{displaymath} wobei der Parameter $i$ im Bereich $0\le i\le n-1$ an den $n$ "aquidistanten Stellen $0,1,\dots n-1$ eingesetzt wird und der Winkel $\gamma$ sich berechnet zu $\gamma =\frac{\beta}{2}$. Mit den Parametern $\alpha=10^{\circ}$, $\beta=360/5^{\circ}$, $l=60$, $n=5$ und \marginlabel{ \setdefaults \setunitlength{1pt} \begin{picture}(90,90) \put(0,0){\special{gr def p1=360/5*pi/180/2; def p0=10*pi/180; def x0=15; def y0=0; def l=60; setpoint 0 t=0..4:5[ x0+l*sin(t*p1)/sin(p1)*cos((1-t)*p1-p0), y0-l*sin(t*p1)/sin(p1)*sin((1-t)*p1-p0)]; closedpoly 0-4; setdotsize 3 pt; dot 0; setdotsize 4 pt; dot 1; setdotsize 5 pt; dot 2; setdotsize 6 pt; dot 3; setdotsize 7 pt; dot 4}} \end{picture} } dem Startpunkt $x=15$, $y=0$ ergibt sich das regelm"a"sige F"unfeck links. Die Eckpunkte sind in der Reihenfolge ihrer Erzeugung jeweils etwas gr"o"ser gezeichnet. Der zugeh"orige \LaTeX-Code ist folgender. Bitte beachten Sie, da"s die Winkelangaben in Grad f"ur die Treiber ins Bogenma"s umgerechnet werden m"ussen. Deshalb das merkw"urdige Aussehen der Formeln. \begin{quote} \begin{verbatim} \setdefaults\setunitlength{1pt} \begin{picture}(90,90) \put(0,0){\special{gr def p1=360/5*pi/180/2; def p0=10*pi/180; def x0=15; def y0=0; def l=60; setpoint 0 t=0..4:5[ x0+l*sin(t*p1)/sin(p1)*cos((1-t)*p1-p0), y0-l*sin(t*p1)/sin(p1)*sin((1-t)*p1-p0)]; closedpoly 0-4; setdotsize 3 pt; dot 0; setdotsize 4 pt; dot 1; setdotsize 5 pt; dot 2; setdotsize 6 pt; dot 3; setdotsize 7 pt; dot 4}} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} \subsubsection{Das Aussehen von Linien} Als Besonderheit kann man bei allen Linien das Aussehen in weiten Bereichen bestimmen. So kann man Liniendicke und Linienmuster frei definieren und hat in der Gestaltung der Linienenden gro"se Auswahl. Dicke, Muster, Art des Linienendes und Pfeilgr"o"se sind mittels der Befehle {\tt setlinewidth}, {\tt setdash}, {\tt setlinecap} und {\tt setarrowsize} leicht zu steuern, wie folgender \LaTeX-Code beweist, mit dem Abbildung~\ref{llines} erzeugt wurde. \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults\setunitlength{1pt} \begin{picture}(150,150) \put(0,0){\special{gr setpoint 0[10,0] 1[10,150] 2[25,0] 3[25,150] 4[40,0] 5[40,150] 6[55,0] 7[55,150] 8[70,0] 9[70,150] 10[85,0] 11[85,150] 12[100,0] 13[100,150] 14[115,0] 15[115,150] 16[130,0] 17[130,150] 18[145,0] 19[145,150]}}% \special{gr setlinewidth 1pt; poly 0-1} \special{gr setlinewidth 2pt; poly 2-3} \special{gr setlinewidth 3pt; poly 4-5} \special{gr setlinewidth 2pt; setdash 2pt; poly 6-7} \special{gr setdash 17pt; poly 8-9} \special{gr setdash 4pt 2pt 2pt 2pt; poly 10-11; setdash} \special{gr setlinewidth 3pt; setlinecap plain round; poly 12-13} \special{gr setlinecap arrow wedge; poly 14-15} \special{gr setarrowline 3pt; setarrowsize 8pt 15 pt; setlinecap triangle triangle; poly 16-17} \special{gr setlinecap wedge wedge; setarrowsize 8pt 5pt; poly 18-19} \end{picture} \caption{Verschiedene Linientypen}\label{llines} \end{figure} \begin{quote} \begin{verbatim} \begin{figure}[hbtp]\centering \setdefaults\setunitlength{1pt} \begin{picture}(150,150) \put(0,0){\special{gr setpoint 0[10,0] 1[10,150] 2[25,0] 3[25,150] 4[40,0] 5[40,150] 6[55,0] 7[55,150] 8[70,0] 9[70,150] 10[85,0] 11[85,150] 12[100,0] 13[100,150] 14[115,0] 15[115,150] 16[130,0] 17[130,150] 18[145,0] 19[145,150]}}% \special{gr setlinewidth 1pt; poly 0-1} \special{gr setlinewidth 2pt; poly 2-3} \special{gr setlinewidth 3pt; poly 4-5} \special{gr setlinewidth 2pt; setdash 2pt; poly 6-7} \special{gr setdash 17pt; poly 8-9} \special{gr setdash 4pt 2pt 2pt 2pt; poly 10-11; setdash} \special{gr setlinewidth 3pt; setlinecap plain round; poly 12-13} \special{gr setlinecap arrow wedge; poly 14-15} \special{gr setarrowline 3pt; setarrowsize 8pt 15 pt; setlinecap triangle triangle; poly 16-17} \special{gr setlinecap wedge wedge; setarrowsize 8pt 5pt; poly 18-19} \end{picture} \caption{Verschiedene Linientypen}\label{llines} \end{figure} \begin{figure}[hbtp]\centering \end{verbatim} \end{quote} Bei den Linienenden sind die M"oglichkeiten, Pfeilspitzen zu erzeugen, eine besondere Betrachtung wert. Eine Pfeilspitze ist prinzipiell aus drei B\'e\-zier\-kur\-ven aufgebaut, wovon zwei spiegelbildlich die Schenkel des Pfeils bilden und die dritte die Verbindung der Schenkelenden. Bei diesen B\'ezierkurven liegt jeweils ein doppelter Kontrollpunkt auf halber L"ange, dessen Lage sich in Richtung Schwerpunkt des Pfeildreiecks verschieben l"a"st. Diese Verschiebungsfaktoren werden mittels {\tt setarrowshape} eingegeben. In Bild~\ref{larrow} sind sechs Linien zu sehen, bei denen die beiden Parameter von {\tt setarrowshape} wie unter dem jeweiligen Pfeil zu sehen gesetzt sind. Die Linienenden sind oben von der Art {\tt triangle} und unten {\tt wedge}. \setdefaults\setlength{\unitlength}{1pt}\setunitlength{1pt} \begin{figure}[hbtp]\centering \begin{picture}(270,150) \put(0,0){\scriptsize\tt 0,0} \put(50,0){\scriptsize\tt 0.3,0} \put(100,0){\scriptsize\tt 0,0.5} \put(150,0){\scriptsize\tt 0.3,0.5} \put(200,0){\scriptsize\tt -0.3,0} \put(250,0){\scriptsize\tt 0,-0.5} \special{gr setlinewidth 1pt; setarrowsize 20pt 30pt; setlinecap wedge triangle}% \special{gr setarrowline 1pt}% \put(10,15){\special{gr setpoint 0}}\put(10,150){\special{gr setpoint 1}} \put(60,15){\special{gr setpoint 2}}\put(60,150){\special{gr setpoint 3}} \put(110,15){\special{gr setpoint 4}}\put(110,150){\special{gr setpoint 5}} \put(160,15){\special{gr setpoint 6}}\put(160,150){\special{gr setpoint 7}} \put(210,15){\special{gr setpoint 8}}\put(210,150){\special{gr setpoint 9}} \put(260,15){\special{gr setpoint 10}}\put(260,150){\special{gr setpoint 11}} \special{gr setarrowshape; spline 0-1} \special{gr setarrowshape 0.3; spline 2-3} \special{gr setarrowshape 0 0.5; spline 4-5} \special{gr setarrowshape 0.3 0.5; spline 6-7} \special{gr setarrowshape -0.3 0; spline 8-9} \special{gr setarrowshape 0, -0.5; spline 10-11} \setdefaults \end{picture} \caption{Arten von Pfeilspitzen}\label{larrow} \end{figure} \subsubsection{Neue Bilder ohne \TeX} "Ublicherweise gelingen Bilder nicht immer auf Anhieb, sondern man mu"s im Gegenteil immer wieder kleine und kleinste "Anderungen verwirklichen, um ein perfektes Ergebnis zu erreichen. Bei Verwendung der Grafikbefehle der Treiber wie bisher mu"ste jeweils das Dokument mit der Grafik von \TeX\ neu "ubersetzt werden, um die "Anderungen in der Zeichnung wirksam werden zu lassen. Dieser erhebliche Aufwand l"a"st sich durch Verwendung des {\tt input}-Befehls umgehen. Durch diesen Befehl werden die Grafikbefehle nicht mehr der {\tt DVI}-Datei entnommen, sondern aus einer externen Textdatei. Wenn also die Gr"o"se und Beschriftung einer Zeichnung feststeht, kann man die "ubrigen Grafikbefehle f"ur den Treiber in eine Datei auslagern, die "uber \begin{quote} \begin{verbatim} \special{gr input "dateiname"} \end{verbatim} \end{quote} eingeladen wird. Dadurch sind "Anderungen an der Zeichnung durch "Andern der Datei {\tt dateiname} m"oglich, ohne da"s \TeX\ erneut "ubersetzen mu"s. Der Dateiname mu"s nat"urlich den Konventionen des Betriebssystems Ihres Rechners entsprechen. Die doppelten Anf"uhrungszeichen sind Bestandteile des {\tt input}-Befehls und d"urfen nicht fehlen. Ein kleiner Rahmen als Beispiel ist in Abbildung~\ref{lfiletex} zu sehen. \begin{figure}[hbtp] \begin{quote} \begin{verbatim} \setdefaults\setunitlength{1cm} \begin{picture}(10,5)(0,0) \special{gr input "bildchen.gr"} \end{picture} \end{verbatim} \end{quote} \caption{Grafikrahmen im \TeX-Dokument}\label{lfiletex} \end{figure} Als kleines Beispiel f"ur eine Grafik k"onnte Abbildung~\ref{lfilegr} dienen. Die Grafikbefehle stehen in einer externen Datei. \begin{figure}[hbtp] \begin{quote} \begin{verbatim} setpoint 0[0.5,2.5] 1[2.5,2.5] [2.5,3] [0.5,3]; closedpoly 0-3; setpoint t=pi/8..7/8*pi:5[5+0.5*cos(t),2+0.5*sin(t)]; setpoint t=pi/8..7/8*pi:5[5+cos(t),2+sin(t)]; spline 4-8; poly 8,13; spline 13-9; poly 9,4; setpoint 14[7.5,0.5] [9.5,0.5] [9.5,1] [7.5,1]; closedpoly 14-17; setlinecap round arrow; setdash 4pt 2pt; poly [14,17]1/2, ([0,1]1/2,@), [0,1]1/2 : 0.1..1.8; defclip; defpattern 170,85,170,85,170,85,170,85; spline 4-8; poly 8,13; spline 13-9; poly 9,4; patclip; endclip \end{verbatim} \end{quote} \caption{Grafikbefehle in Datei {\tt bildchen.gr}}\label{lfilegr} \end{figure} Testen Sie doch einmal selbst und probieren Sie eigene "Anderungen in der Datei {\tt bildchen.gr} aus!